分析测算注塑模具冷却管

 　　冷却系统是注塑模具的重要组成部分。对大多数模具，冷却是通过冷却液在冷却管网内的流动来实现的。冷却管网的分析计算，是在基本参数已定的基础上，来确定各管段的流量和各个节点的压力。管网分析的意义，不但在于可以确定冷却液压力泵（大多为水泵）是否能提供足够的压力以保证管网的流量，而且当管网有内部支路时，可以计算各支路的流量分配。一般而言，管网分析方法可大致归纳为两大类：回路法和节点法。回路法即围绕回路列回路方程，以各个管路的流量为待求量。其基本做法，是假设各个管路流量，然后根据每个回路的压力不平衡量对流量进行反复的修正，直至修正量足够小< 1>.这种方法几乎在所有的流体力学教科书中均有介绍，应用的也为广泛< 2>.这种方法的缺点，是必须要事先确定管网中所有的回路。文献< 3>通过图论的方法来找到所有的回路，对于管网分析是一项创造性工作，但同时也导致了算法复杂，降低了程序的可读性。而且，回路法所采用的迭代算法，本质上属于反投影法，迭代次数多，效率低下。当管网入口参数输入为压力控制时，处理起来也多有不便。节点法是以管路的交叉点（节点）的压力作为未知量，以进出节点的流量总和等于外部的输入（出）流量建立方程，笔者对其原理做了一简单介绍。然而，节点法也有缺陷：当某一段管路两端的压力相等，没有液体流动时，液导矩阵奇异。本文将就节点法提出一个新算法：修正流量的节点法。该方法可以绕过图论，不用确定所有回路，在保持传统节点法优点的同时，可以不必处理奇异矩阵，并且迭代速度快，具有实际应用价值。

　　1管网分析基本方程冷却液在管道中的流量Q由Darcy- Weis bach方程（压头损失方程）给出：h f = p g = L D V 2 2g（1）定义流量为Q=！D 2 V 4.

　　代入式（1）得p= 8 L！

　　2 D 5 Q 2，记？= 8 L！

　　2 D 5，则p =？Q 2为压头损失（沿程摩擦阻力损失）；p为冷却管道两端的压差；为冷却液的密度；g为重力加速度；L为冷却液孔长度；D为冷却管道直径；V为冷却液流速；为沿程阻力系数。

　　其中，沿程阻力系数与雷诺数（Re = 4 Q！#D，#为冷却液黏度）有关：= 64/ Re（Re 2 000）0 000 016（4 000- Re）+ 0 000 019 89（Re- 2 000）（2 000 Re 4 000）0 316 4/ Re 0 25（4 000< Re）2节点法基本原理< 4，5>节点法是以管路的交叉点（节点）的压力作为未知量，以进出节点的流量总和等于外部的输入（出）流量建立方程。对于一个独立的管网，首先用若干节点划分为若干管段，如后面的图2所示。划分的原则，是不同回路的交点以及进出口一定要作为节点，即一段管段内不可以有分支；在已经划分好的管段内，可以根据需要添加任意数目的节点。对于由节点i和j定义的管段，其内部的流量可由式（2）计算：Q 2 = | p i - p j |？

　　ij（3）定义流出节点的流量为正，流入为负，并记Q ij为由节点i流至节点j的流量，式（3）可进一步改写为有向流形式：Q ij = p i - p j？

　　ij | Q ij | = g ij（p i - p j）。

　　其中，g ij = 1？

　　ij | Q ij |（4）类似于电工学中的电导，g ij在这里可称作液导。

　　对于管网中任一节点i，由管网内部流入流出的液体总和应等于外部的输入输出总和q i，故有j Q ij = j g ij（p i - p j）= q i.

　　对管网中所有的节点均建立类似的方程，可得到一方程组：Gp = q（5）G为液导矩阵，这是一个非线性方程组，需要对压力或流量给出一个初值，然后反复迭代求解，直至收敛，即可得到各节点的压力，进而得到各管段的流量。总体而言，节点法的公式表达、计算程序和计算效率均优于回路法。

　　3改进的节点法由式（4）可以看出，当某管段两端的压力相等，压差为零时，管段内部的流量也为零，从而液导趋于无穷大，终得到的液导矩阵奇异。为解决这个问题，本文提出一种改进方法。

　　记由节点k流入节点i的流量为Q - ki，由节点i流出至节点j的流量为Q + ij，流入节点i的外部流量为q - i，由节点i流出到外部的流量为q + i，则我们可以建立如下流量平衡方程：q + i + j Q + ij = q - i + k Q - ki（6）对上式两边取平方，有q + i + j Q + ij 2 = q + i + j Q + ij 2 - j（Q + ij）2 + j（Q + ij）2.

　　记q + i + j Q + ij 2 - j（Q + ij）2 = r + i.

　　并引入式（3），注意到p i！p j，则式（6）化作q + i + j Q + ij 2 = r + i + j p i - p j？

　　ij（7）类似的，记q - i + k Q - ki 2 - k（Q - ki）2 = r - i.

　　则有q - i + k Q - ki 2 = r - i - k p i - p k？

　　ik（8）由式（7）和（8），式（6）取平方后化作m p i - p m？

　　im = r - i - r + i（9）进一步，令K im = 1？

　　im；r i = r - i - r + i，则式（9）终化作m K im（p i - p m）= r i.

　　对所有的节点列出类似的方程，则可得到与传统节点法相似的联立方程组：Kp= r（10）这里K仍可称为液导矩阵，但不再存在奇异的问题。它是对称、稀疏的，可以用通常有限元方法中常用的一维压缩存储和进行LDLT三角化分解，求解速度是非常快的。

　　由于式（10）中的左右端均与流速有关，因此为非线性的。考虑到本方程组不存在奇异问题，可以简单的设各节点压力（或流速）的初值为零。在得到节点压力之后，计算管网的流量，修正式（10）的左右端，重新计算，直至收敛。收敛准则可由下式确定：p n - p n- 1 <？（？为一小数）。

　　采用本文方法还有一个潜在的优点：如果阻力系数作为常数，式（10）中的液导矩阵是不变的，因此可以一次性的生成和分解，变化的仅仅是右端项，此时收敛速度将会成倍增加。

　　图1是本方法的计算程序框图。

　　图1计算程序框图Fig. 1 The computational flowchart 4算例假设一冷却管网，如图2所示。管网划分为14个管道（），11个节点，节点1为进水口，节点5为出水口。进水口流量q = 1. 667 # 10 - 4 m 3 / s，各管段长度均为100 mm，管径相等，均为10 mm，设冷却水温度为30？。采用本文所述数学模型用C+ +语言进行了编制计算，其结果列于表1、表2.可以看出，各相邻管段间的流量是相互平衡的；基于管网的几何对称性，流量的分布也是对称的；节点的压力也满足对称要求。

　　算例的管网分布Fig. 2 The pipe network of the example本算例中，由于对称性，节点3，8，9的压力应该相等，而管段7、8中液体保持静止。此时用传统的节点法将会遇到麻烦，但用本文方法则毫无障碍的求得了解。

　　表1管网流量分布Tab 1 Flow rate in pipe network m 3 s - 1管段号流量Q管段号流量Q 1 16. 670 00 # 10 - 5 7，8 0 2，4 4. 781 41# 10 - 5 9，12 4. 781 41# 10 - 5 3，6 4. 781 41# 10 - 5 11，13 4. 781 41# 10 - 5 5，10 7. 105 14# 10 - 5 14 16. 670 00 # 10 - 5表2管网压力分布Tab 2 Nodal press in pipe network Pa节点号压力p节点号压力p 1 1 373. 790 5 0 2 812. 986 6，7 749. 941 3 686. 896 8，9 686. 896 4 560. 807 10，11 623. 852 5结束语针对模具冷却管网的数值分析，本文提出一种基于流量迭代的节点法，并通过一个算例进行了验证。对比于此前的回路法，由于不必确定管网中的回路，因此算法简单，运行时间短、收敛速度快；相比于传统的节点法，则无需考虑某管段流量为零时导致的方程奇异。本文方法更易于处理各种复杂情况，具有实际应用价值。本文方法虽然针对模具冷却系统而讨论，但并未加以任何限制，因此可以推广应用于任何类似管网分析计算，如供水系统、水利管网系统等等。
来源：中国模具网

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